Zadanie optymalizacyjne - główne

Prostokąt ma boki długości 70 cm i 90 cm. Bok a powiększamy o x cm, zaś bok b zmniejszamy o x cm. Dla jakiej wartości x pole nowego prostokąta będzie największe.

Metoda 1 (najłatwiejsza): Wykorzystanie arkusza kalkulacyjnego

Kliknij, aby powiększyć

Metoda 2

a = 70cm

b = 90cm

P = 6300cm²

Kliknij, aby powiększyć

a = 70cm

b = 90cm

P = (a+x) (b-x)

0<90 P = (70+x) (90-x) Rysujemy parabolę i szukamy gdzie wartość funkcji jest największa. (jest to środek pomiędzy liczbami -70 i 90, czyli 10)

Kliknij, aby powiększyć

Metoda 3

Wynik zadania możemy także uzyskać poprzez wyliczenie X wierzchołka. Jest to punkt w którym parabola uzyskuje najwyższą wartość (tym samym pole prostokąta jest największe).


Krok 1: Przejście z postaci iloczynowej na kanoniczną:

f(x)=(90-x)(70+x)

f(x)=6300+90x-70x-x²

f(x)=-x²+20x+6300

Krok 2: Określenie współczynników potrzebnych do obliczeń:

f(x)=-x²+20x+6300

a=-1

b=20

c=6300

Szukamy tylko jednej współrzędnej dlatego wyliczanie Δ nie jest potrzebne.



Krok 3: Wyliczenie Xw:

Xw=-b/2a

Xw=-20/-2

Xw=10

Ćwiczenie dodatkowe

Treść:

Podaj wzór funkcji opisującej pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu, którego krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka mają odpowiednio długości: ½x, ½x, 4x.

Rozwiązanie:

Pole podstawy: ½x * ½x = ¼x²

Pole ściany bocznej: 4x * ½x = 2x²

Pole dwóch podstaw: ¼x² * 2 = ½x²

Pole czterech ścian prostopadłościanu: 4 * 2x² = 8x²

Pole całkowite: 8x² + ½x²

Pole powierzchni całkowitej:

y = (8 + ½) x²

y = 8,5 x²


Odpowiedź: Pole powierzchni całkowitej przedstawionego prostopadłościanu możemy określić wzorem:

y = (8 + ½) x²


Rysunek razem z obliczeniami opublikowany jest na poniższym rysunku, wystarczy kliknąć na miniaturę, aby powiększyć rysunek.

Proszę kliknąć na miniaturę, aby ją powiększyć.